Benoît B. Mandelbrot - und die Fraktalgeometrie

geschrieben von ehemaliges Mitglied 24. November 2009 um 16:47 Uhr

Es gibt immer wieder Zeitspannen in denen wir uns hier im ST intensiv mit der Herstellung von Fraktalen befassen. Wenn man dies wiedermal neu entdeckt, wird es sehr leicht zu einer kleinen Obsession.

Doch nicht dies soll mein Thema heute sein. Ich möchte einiges über denjenigen schreiben, dem überhaupt die Fraktalgeometrie zu verdanken ist: Benoît B. Mandelbrot

Die Entscheidung wo ich dieses Thema einordnen soll, fiel mir eigentlich schwer. Denn eigentlich gehört es genau so zu den Wissenschaften, wie m.E. auch zur Philosophie.

Das eigentliche Interesse an Benoît Mandelbrots Theorien, wurde erst in den 80. Jahren geweckt – und so entstand dieser neue Zweig der Geometrie: die Fraktalgeometrie.

Da dieses Gebiet der Mathematik eigentlich die Visualisierung einer infiniten Zahlenmenge ist, erlaubt sie die Beschreibung von Systemen deren Entwicklung zeitlich gesehen, nicht mit voller Sicherheit vorherzusagen ist.
Ein gutes Beispiel dafür, welches wir ja auch täglich erleben: das Wetter.

Das bekannteste Werk von Mandelbrot bleibt wohl jenes das er im Jahr 1975 geschrieben hat:
Die fraktale Geometrie der Natur. Daraus ein Zitat:

"Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küstenlinien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade...
Die Existenz solcher Formen fordert uns zum Studium dessen heraus, was Euklid als formlos beiseite läßt, führt uns zur Morphologie des Amorphen. Bisher sind die Mathematiker jedoch dieser Herausforderung ausgewichen. Durch die Entwicklung von Theorien, die keine Beziehung mehr zu sichtbaren Dingen aufweisen, haben sie sich von der Natur entfernt. Als Antwort darauf werden wir eine neue Geometrie der Natur entwickeln und ihren Nutzen auf verschiedenen Gebieten nachweisen. Diese neue Geometrie beschreibt viele der unregelmäßigen und zersplitterten Formen um uns herum - und zwar mit einer Familie von Figuren, die wir Fraktale nennen werden."

Von wo stammt aber das Wort Fraktale?

Mandelbrot hatte mal einen englischen Forscher gelesen, der sich mit der Messbarkeit der Länge der britischen Küste befasste.
Nun, dieses Unterfangen scheint fast unmöglich: versucht man es mit Satellitenbildern, kann man die kleineren Buchten nicht miteinbeziehen – dadurch fällt die Küste kleiner aus als sie es eigentlich ist.

Genau so unmöglich erweisen sich die Messungen mittels eines Meterstabs, mit dieser Art der Messung fallen die Zahlen größer aus.
Es geht hier also um eine zwar endliche Fläche (die Küste), die durch die Tatsache, dass sie als nicht messbar sich erweist oder als solche erscheint, den Umfang (Großbritannien) unendlich erscheinen lässt.

Da hatte Benoît Mandelbrot die Idee des Begriffes "Fraktal" – was auf die gebrochene Dimensionalität hinweisen soll.

Dieser Begriff erwies sich in der Folge auch in anderen Bereichen anwendbar. Wen soll es noch erstaunen, dass der geniale Mathematiker der Mandelbrot ist, im Jahr 2005 ein Buch herausgab, dessen Titel uns spätestens heute aufhorchen lässt: Fraktale und Finanzen (Piper 2005).
Hat er eigentlich dadurch die Finanzwelt erreichen, bzw. warnen können? Mir scheint dies nicht so.

Spätestens hier muss doch jeder begriffen haben, dass die Fraktale und die Fraktalgeometrie eng verbunden sind mit dem Chaos, bzw. mit der Chaostheorie.
Unsere Wahrnehmung ist tatsächlich sehr beschränkt - sowohl von der Ratio her - aber noch mehr in Bezug auf unsere Sinne.

Was mich bei Mandelbrot fasziniert, ist dass er Mittel findet diese beschränkte Wahrnehmung oder das eingeschränkte Verstehen von Phänomenen, zu überwinden.

Ich beziehe mich nun nicht auf Mandelbrot - aber möchte als Beispiel für unsere subjektive und unvollständige Wahrnehmung unser Sehvermögen nehmen: wir meinen vom Visuellen her die Sachen zu erfassen.

Doch auch das stimmt nicht ganz. Wenn wir zwei Bilder nebeneinander setzen: eines welches ein Objekt oder ein Lebewesen mit der Digitalkamera erfasst hat (dies entspricht in etwa unserem Sehvermögen), - und dann das gleiche mit dem Elektronenmikroskop festgehalten (in diesem Fall mit dem Scanning-EM), werden wir erstmal feststellen wie wenig wir rein visuell (ohne Unterstützung der Apparate), erfassen.

Vorläufig nur soviel - das Thema geht zwar weiter, aber wir können schon jetzt eine kleine Duskussion darüber starten, wenn Ihr es möchtet.

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miriam